a: Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=6^2+8^2=100\)

hay BC=10(cm)

Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AP là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

nên \(AP=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{10}{2}=5\left(cm\right)\)

b: Xét ΔABC có

P là trung điểm của BC

N là trung điểm của AC

Do đó: PN là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: PN//AB và \(PN=\dfrac{AB}{2}\)

mà \(AM=\dfrac{AB}{2}\)

nên PN//AM và PN=AM

Xét tứ giác AMPN có 

PN//AM

PN=AM

Do đó: AMPN là hình bình hành

mà \(\widehat{NAM}=90^0\)

nên AMPN là hình chữ nhật

c: Xét tứ giác APCE có 

N là trung điểm của đường chéo AC

N là trung điểm của đường chéo PE

Do đó: APCE là hình bình hành

mà PE\(\perp\)AC

nên APCE là hình thoi

a) Ta có: NB = NC (gt); ND = NA (gt)

⇒ Tứ giác ABDC là hình bình hành

có ∠A = 90o (gt) ⇒ ABDC là hình chữ nhật.

b) Ta có: AI = IC (gt); NI = IE (gt)

⇒ AECN là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

mặt khác ΔABC vuông có AN là trung tuyến nên AN = NC = BC/2.

Vậy tứ giác AECN là hình thoi.

c) BN và DM là 2 đường trung tuyến của tam giác ABD; BN và MD giao nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABD.

Tương tự G’ là trọng tâm của hai tam giác ACD

⇒ BG = BN/3 và CG’ = CN/3 mà BN = CN (gt) ⇒ BG = CG’

d) Ta có: SABC = (1/2).AB.AC = (1/2).6.6 = 24 (cm2)

Lại có: BG = GG’ = CG’ (tính chất trọng tâm)

⇒ SDGB = SDGG' = SDG'C = 1/3 SBCD

(chung đường cao kẻ từ D và đáy bằng nhau)

Mà SBCD = SCBA (vì ΔBCD = ΔCBA (c.c.c))

⇒SDGG' = 24/3 = 8(cm2)

Để chứng minh các phần a, b và c, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và hình chữ nhật.

a. Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lí trung tuyến, ta có DE là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, DE song song với cạnh AC. Tương tự, ta có DF song song với cạnh AB. Vậy DE//AC và DF//AB.

b. Ta cần chứng minh AEDF là hình chữ nhật. Đầu tiên, ta thấy DE//AC và DF//AB (theo phần a). Khi đó, ta có:

- AD = DC (vì D là trung điểm của BC)

- AE = EB (vì E là trung điểm của AB)

- AF = FC (vì F là trung điểm của AC)

Vậy ta có các cạnh đối diện của tứ giác AEDF bằng nhau, do đó AEDF là hình chữ nhật.

c. Gọi M là điểm đối xứng của D qua AB. Ta cần chứng minh M đối xứng với N qua A. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh AM = AN và góc MAN = góc NAM.

- Vì M là điểm đối xứng của D qua AB, nên ta có AM = AD.

- Vì N là điểm đối xứng của D qua AC, nên ta có AN = AD.

Do đó, ta có AM = AN.

- Ta có góc MAD = góc DAB (vì M là điểm đối xứng của D qua AB)

- Ta có góc NAD = góc DAC (vì N là điểm đối xứng của D qua AC)

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc DAB = góc DAC. Từ đó, ta có góc MAD = góc NAD.

Vậy ta có AM = AN và góc MAN = góc NAM, do đó M đối xứng với N qua A.

Vậy ta đã chứng minh được M đối xứng với N qua A.

a: Xét tứ giác BECF có

D là trung điểm chung của BC và EF

BE=EC

Do đó: BECF là hình thoi

b: Sửa đề: Tính diện tích BECF

\(BC=\sqrt{10^2-8^2}=6\left(cm\right)\)

DE=AB/2=4cm

=>EF=8cm

\(S_{BECF}=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot8=3\cdot8=24\left(cm^2\right)\)

Hình bạn tự vẽ chắc dc rùi nhé mình chỉ giải thôi 

Bài làm 

a/ \(\Delta\)ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC ( M là trung điểm BC )

Nên  Am cũng là đường cao \(\Rightarrow\)AM \(⊥\)BC

  vì M là trung điểm của BC \(\Rightarrow\)BM= MC = \(\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.6=3cm\)

Xét tam giác AMB vuông tại M có:

AM² + BM² = AB²

AM² + 3²     = 5²

AM² + 9     =  25

AM²           =  25 - 9 =16

\(\Rightarrow\)AM= \(\sqrt{16}=4\)

Vậy S ABC = \(\frac{1}{2}AM.BC\)= ^{\(\frac{1}{2}4.6=12\)}

b/ Xét tứ giác AMCN có :

OA=OC (gt)

OM=ON ( N đối xứng với M qua O )

\(\Rightarrow\)Tứ giác AMCN là hình bình hành

Mà AM \(⊥\)MC ( chứng minh ở câu a ) \(\Rightarrow\)\(\widehat{AMC}\)= 90 ⁰

Hình bình hành AMCN có \(\widehat{AMC}=90\)nên AMCN là hình chữ nhật

C/ Để AMNC là hình vuông thì AM phải bằng MC ( Vì theo lý thuyết hcn có 2 cạnh kề bằng nhau là hình vuông )

Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì có :

AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên BM = AM = MC 

Vậy để tứ giác AMCN là hình vuông thì tam giác ABC phải là tam giác vuông cân tại A

a: Xét ΔABC có

AM/AB=AN/AC

Do đó: MN//BC

hay BMNC là hình thang

mà BN=CM

nên BMNC là hình thang cân